Les algorithmes à signatures sont devenus une approche classique pour
le calcul de bases de Gröbner pour des polynômes à coefficients dans
un corps, et l'extension de cette technique à des polynômes à
coefficients dans des anneaux a fait l'objet de travaux récents.

Dans ce travail, nous nous intéressons à deux algorithmes dûs à Möller
(1988).  Le premier de ces algorithmes permet de calculer des bases de
Gröbner dites faibles, pourvu que l'anneau de coefficients soit
noethérien et effectif.  Nous montrons que, dans le cas où l'anneau
des coefficients est principal, cet algorithme peut être adapté pour
calculer des bases de Gröbner avec signatures.  En particulier,
l'algorithme garantit l'absence de chutes de signatures, ce qui permet
d'adapter les critères de signatures classiques comme le critère
singulier ou le critère F5.

Le second de ces algorithmes de Möller est quant à lui spécifique au
cas des anneaux principaux, et permet de calculer une base de Gröbner
forte de manière plus efficace que l'algorithme général. Nous montrons
que cet algorithme peut également être adapté pour prendre en compte
les signatures, et éviter un grand nombre de calculs redondants ou
inutiles.

L'algorithme dédié aux anneaux principaux, contrairement à
l'algorithme général, est également compatible avec les critères de
Buchberger, notamment le critère de chaîne, et nous montrons que ce
critère peut être ajouté de manière compatible avec les signatures.

Nous présentons enfin des résultats expérimentaux en termes de nombres
de S-polynômes calculés, réduits ou écartés par les différents
critères, mesurés sur une implantation "jouet" des algorithmes en
Magma.

(Travail en commun avec Maria Francis)